Fonksiyonlar

FONKSİYON

A. TANIM

A ¹ Æ ve B ¹ Æ olmak üzere, A dan B ye bir b bağıntısı verilmiş olsun.
A nın her elemanı B nin elemanlarıyla en az bir kez ve en çok bir kez eşleniyorsa bu bağıntıya fonksiyon denir.

“x Î A ve y Î B olmak üzere, A dan B ye bir f fonksiyonu
f : A ® B ya da x ® f(x) = y biçiminde gösterilir. A ya fonksiyonun tanım kümesi, B ye dedeğer kümesi denir.

Yukarıda A dan B ye tanımlanan f fonksiyonu

f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 2)}

biçiminde de gösterilir.

Ü	Her fonksiyon bir bağıntıdır. Fakat her bağıntı fonksiyon olmayabilir.
Ü	Görüntü kümesi değer kümesinin alt kümesidir.
Ü	s(A) = m ve s(B) = n olmak üzere, i) A dan B ye nm tane fonksiyon tanımlanabilir. ii) B den A ya mn tane fonksiyon tanımlanabilir. iii) A dan B ye tanımlanabilen fonksiyon olmayan bağıntıların sayısı 2m × n – nm dir.
Ü	Grafiği verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını anlamak için, y eksenine paralel doğrular çizilir. Bu doğrular fonksiyonun belirttiği eğride en az bir ve en çok bir noktayı kesiyorsa verilen bağıntı x ten y ye bir fonksiyondur.

B. FONKSİYONLARDA İŞLEMLER

A Ç B ¹ Æ olmak üzere,

 fonksiyonları tanımlansın.

1. (f + g) : A Ç B ® , (f + g)(x) = f(x) + g(x)
2. (f – g) : A Ç B ® , (f – g)(x) = f(x) – g(x)
3. (f × g) : A Ç B ® , (f × g)(x) = f(x) × g(x)
4. “x Î A Ç B için, g(x) ¹ 0 olmak üzere,
   

1. c Π olmak üzere,
   (c × f) : A ® , (c × f)(x) = c × f(x) tir.

C. FONKSİYON ÇEŞİTLERİ

1. Bire Bir Fonksiyon

Bir fonksiyonda farklı elemanların görüntüleri de farklıysa fonksiyon bire birdir..

BBuna göre, bire bir fonksiyonda,

“x₁, x₂ Î A için, x₁ ¹ x₂ iken f(x₁) ¹ f(x₂) olur.

Diğer bir ifadeyle,

“x₁, x₂ Î A için, f(x₁) = f(x₂) iken

x₁ = x₂ ise, f  fonksiyonu bire birdir.

Ü	s(A) = m ve s(B) = n (n ³ m) olmak üzere, A dan B ye tanımlanabilecek bire bir fonksiyonların sayısı,

2. Örten Fonksiyon

Görüntü kümesi değer kümesine eşit olan fonksiyonlara örten fonksiyon denir.

Ü	f : A ® B f(A) = B ise, f örtendir.
Ü	s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen bire bir örten fonksiyonların sayısı, m! = m × (m – 1) × (m – 2) × … × 3 × 2 × 1 dir.

3. İçine Fonksiyon

Örten olmayan fonksiyona içine fonksiyon denir.

Ü	İçine fonksiyonun değer kümesinde eşlenmemiş eleman vardır.
Ü	s(A) = m olmak üzere, A dan A ya tanımlanabilen içine fonksiyonların sayısı mm – m! dir.

4. Birim (Etkisiz) Fonksiyon

Her elemanı kendisine eşleyen fonksiyona birim fonksiyon denir.

ise, f birim (etkisiz) fonksiyondur.

Ü	Birim fonksiyon genellikle I ile gösterilir.

5. Sabit Fonksiyon

Tanım kümesindeki bütün elemanları değer küme-sindeki bir elemana eşleyen fonksiyonasabit fonksiyon denir.

Ü	“x Î A ve c Î B için, f : A ® B f(x) = c ise, f sabit fonksiyondur.
Ü	s(A) = m, s(B) = n olmak üzere, A dan B ye n tane sabit fonksiyon tanımlanabilir.

6. Çift ve Tek Fonksiyon

f(–x) = f(x) ise, f fonksiyonu çift fonksiyondur.

f(–x) = –f(x) ise, f fonksiyonu tek fonksiyondur.

Ü	Çift fonksiyonların grafikleri Oy eksenine göre simetriktir.
Ü	Tek fonksiyonların grafikleri orijine göre simetriktir.

D. EŞİT FONKSİYON

f : A ® B

g : A ® B

Her x Î A için f(x) = g(x) ise, f fonksiyonu g fonksiyonuna eşittir.

E. PERMÜTASYON FONKSİYON

f : A ® A

olmak üzere, f fonksiyonu bire bir ve örten ise, f fonksiyonuna permütasyon fonksiyon denir.

A = {a, b, c} olmak üzere, f : A ® A

f = {(a, b), (b, c), (c, a)}

fonksiyonu permütasyon fonksiyon olup

 biçiminde gösterilir.

F. TERS FONKSİYON

f : A ® B, f = {(x, y)|x Î A, y Î B} bire bir ve örten fonksiyon olmak üzere,

f^–1 : B ® A, f^–1 = {(y, x)|(x, y) Î f} fonksiyonuna f nin ters fonksiyonu denir.

(x, y) Î f ise, (y, x) Î f–1 olduğu için, y = f(x) ise, x = f–1(y) dir. Ayrıca, (f–1)–1 = f dir.

(f–1)–1 = f dir. Ancak, (f–1(x))–1 ¹ f(x) tir.

f fonksiyonu bire bir ve örten değilse, f–1 fonksiyon değildir.

f : A ® B ise, f–1 : B ® A olduğu için, f nin tanım kümesi, f–1 in değer kümesidir. f nin değer kümesi de, f–1 in tanım kümesidir.

f(a) = b ise, f–1(b) = a dır. f–1(b) = a ise, f(a) = b dir.

Ü	y = f(x) fonksiyonunun grafiği ile y = f–1(x) in grafiği y = x doğrusuna göre birbirinin simetriğidir.
Ü	olmak üzere,
Ü	olmak üzere,

G. BİLEŞKE FONKSİYON

f : A ® B, g : B ® C fonksiyonları tanımlansın.

f ve g yi kullanarak A kümesinin elemanlarını C kümesinin elemanlarına eşleyen fonksiyona g ile f nin bileşke fonksiyonu denir.

Buna göre,

f : A ® B ve g : B ® C olmak üzere, gof : A ® C fonksiyonuna f ile g nin bileşke fonksiyonu denir ve g bileşke f diye okunur.

Ü	(gof)(x) = g[f(x)] tir.

Bileşke işleminin değişme özeliği yoktur. Bu durumda, fog ¹ gof dir. Bazı fonksiyonlar için fog = gof olabilir. Ancak bu “fonksiyonlarda değişme özeliği yoktur.” gerçeğini değiştirmez.

Ü	Fonksiyonlarda bileşke işleminin birleşme özeliği vardır. Bu durumda (fog)oh = fo(goh) = fogoh olur.
Ü	I birim fonksiyon olmak üzere, foI = Iof = f ve f–1of = fof–1 = I dır.
Ü	f, g ve h fonksiyonları bire bir ve örten olmak üzere, (fog)–1 = g–1of–1 ve (fogoh)–1 = h–1og–1of–1 dir.
Ü	(fog)(x) = h(x) ise, f(x) = (hog–1)(x) dir. ise, g(x) = (f–1oh)(x) tir.

•  f–1 (x) = f(x) tir. •  (fof) (x) = x •  (fofof) (x) = f(x) •  (fofofof) (x) = x …

H. FONKSİYONUN GRAFİĞİ

Bir fonksiyonun elemanlarına analitik düzlemde karşılık gelen noktaların kümesine bu fonksiyonun grafiği denir.

f : A ® B, f = {(x, y)|x Î A, y Î B, y = f(x)}

(a, b) Î f olduğundan f(a) = b dir. Ayrıca, f–1(b) = a dır.

Ü	Yukarıdaki y = f(x) fonksiyonunun grafiğine göre, f(–3) = 3, f(–2) = 1, f(–1) = 2, f(0) = 2, f(1) = 1, f(2) = 0, f(3) = 2, f(4) = 1, f(5) = 0 dır.